1-   شاید اولین عدد گنگی که بشر کشف کرد ۲√ بوده باشد. کشف این عدد منتسب به فیثاغورثیان (شاگردان فیثافورث) است و گفته می‌شود در رقابتهای علمی که در آن زمان بین گروه‌های مختلف درجریان بود، این عدد نقش یک برگ برنده‌ی بزرگ را برای فیثاعورثیان ایفا کرد. این عدد طول قطر مربعی به ضلع یک است که به راحتی از رابطه‌ی فیثاعورث(a^2+b^2=c^2) به دست می‌آید. در ریاضیات کلاسیک هم ۲√ رایج‌ترین گزینه برای اثبات وجود اعداد گنگ است.در واقع ثابت می‌شود که عدد گویایی موجود نیست که به توان 2 برابر با 2 شود. اهمیت کشف اعداد گنگ در آنجا بود که نوعی عدم قطعیت به ریاضیات می‌داد، بدین معنا که برخلاف ذات ریاضی یعنی قطعی بودن آن، در عمل اعداد گنگ را نمی‌توان بطور قطعی بیان کرد؛ مثلا بسط اعشاری همین عدد ۲√ نامختوم و غیر تکراریست و برای نمایش آن مجبوریم به چند رقم اعشار آن اکتفا کنیم و بقیه را نادیده بگیریم، مثلا بنویسیم 1.4142=۲√.

2-   یکی دیگر از اعداد گنگ مهم و تاریخی عدد پی( 3.1415 = ∏ ) می‌باشد. باز هم پای عدم قطعیت به میان می‌آید. شما دایره‌ای به قطر یک رسم می‌کنید، اما محیط این دایره عددیست با بسط اعشاری بی‌انتها و غیر تکراری!!! عدد پی در بسیاری از معادلاتی که با نوسان و تناوب سر و کار دارند، ظاهر می‌شود. بنا به شواهد تاریخی، نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (3.125) و مصریان(3.1604) در 1900 سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است. همچنین در متون هندی این عدد139/3 تقریب زده شده که حدودا تا دو رقم اعشار صحیح است. اولین کسی که عدد پی را با دقت قابل قبول تخمین زد ارشمیدس در قرن سه قبل از میلاد بود. او به کمک روش تقریب دایره با چند ضلعی‌های منتظم و به کمک 96 ضلعی منتظم عدد پی را 3.1519 تخمین زد که تا سه رقم اعشار صحیح است. همچنین، دانشمندی چینی بنام زو چانگ ژی در قرن 5 میلادی عدد پی را 3.14159292 محاسبه کرد که تا 6 رقم اعشار صحیح است. تا هزاره‌ی دوم میلادی، کمتر از ده رقم اعشار عدد پی به طور صحیح محاسبه شده بود(به کمک عدد پی تا 11 رقم اعشار می‌توان محیط کره‌ی زمین را با دقت میلیمتر تخمین زد!!!) رفته رفته و با پیشرفت ریاضیات و ابداع روش سریهای نامتناهی، تخمین‌های بهتری برای عدد پی به دست آمد، به طوریکه امروزه با استفاده از کامپیوترهای شخصی می‌توان این عدد را تا میلیاردها رقم اعشار صحیح تخمین زد!!!

3-   پرکاربردترین عدد گنگی که بشر تا بحال کشف کرده عدد نپر (2.7182 = e) است. کشف این عدد منتسب به جان نپر (John Napier) دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است. البته اهمیت این عدد بیشتر مرهون کارهای لئونارد اویلر (Leonhard Euler) دانشمند سوییسی است. چه، بسیاری نیز معتقدند انتخاب حرف e برای عدد نپر بخاطر اولین حرف از نام خانوادگی اویلر بوده است. البته عده‌ای نیز می‌گویند این حرف نخستین حرف کلمه‌ی نمایی (exponential) است. در واقع توابع نمایی به صورت f(x)=a^x هستند و در بین تمام اعداد حقیقی مثبت ممکنی که می‌توانند بجای a قرار گیرند، عدد نپر تنها عددییست که باعث می‌شود تابع نمایی در نقطه صفر دقیقا شیبی برابر با یک داشته باشد(مشتق تابع e^x برابر است با e^x و لذا شیب این تابع در صفر برابر است با e^0=1. عدد نپر در جاهای دیگر هم ظاهر می‌شود. مثلا فرض کنید در بانک مبلغ یک دلار قرار داده‌اید و بانک به شما 100 درصد سود در سال پرداخت می‌کند، یعنی در پایان سال شما دو دلار خواهید داشت(n=1) حال اگر بانک به جای صد در صد در سال، شش ماه اول 50 درصد سود پرداخت کند (یک و نیم دلار در پایان شش ماه) و در شش ماه دوم نیز 50 درصد سود پرداخت کند (به ازای یک و نیم دلار پس انداز شما) در پایان سال 0.75+1.5=2.25 دلار خواهید داشت(n=2) اگر این بار بانک هر سه ماه یک بار به شما 25 درصد سود پرداخت کند، در پایان سال مبلغ 1.25+0.3125+0.390625+0.488281=2.44141 در حساب خود خواهید داشت (n=4) اگر این روند ادامه پیدا کند، یعنی بانک در تعداد دفعات بیشتری به شما سود کمتری پرداخت کند و این تعداد دفعات یعنی n به بینهایت میل کند، شما در پایان سال به اندازه‌ی 2.7182 = e دلار در بانک خواهید داشت!!!